Мы с другом ехали на его машине. Через некоторое время он доверил мне руль, так как права у меня есть, а сам сел на заднее сиденье для отдыха. Письменно эта передача управления никак не оформлялась. Но я не справился с управлением и залетел в кювет. Машина получила повреждения. Теперь друг требует с меня деньги на ремонт. Кто виноват и как тут быть?

Виноваты вы, вы же сами пишите, что не справились с управлением. Так как вы не причинили ущерба третьим лицам, то за ремонт машины придется платить вам. То, что передача руля не оформлялась в письменном виде, значения не имеет, ПДД это допускают. Вам же просто не следовало садиться за руль, если вы чувствовали себя неуверенно. А как уж вы будете расплачиваться с хозяином, решать только вам. В крайнем случае он имеет право предъявить вам судебный иск, если, конечно, ДТП оформлено законным образом через ГИБДД и гаишники признали вас виновным.